La Conjetura de la Pizza

Estas una tarde con amigos, llegan las diez de la noche y a cada cual le ruge el estómago mas que a un oso. Al poco rato comenzais a ver a los demás como comida y crees que será cuestión de tiempo que alguien comienze a engullir a los demás.


Pero entonces uno tiene un fabulosa idea: ¡Pidamos unas pizzas!


Sacais el dinero de entre los cojines del sofá y rompeis la hucha-cerdito (que de todas formas estaba condenada tras la gripe porcina) y lo mas que podeis comprar es una pizza para cada 2.

No hay problema. Se llama y al cabo del rato teneis las pizzas llamando a la puerta.


Cuando te dispones a sentarte a comerte tu media pizza y abres la caja descubres con sorpresa que los cortes que dividen la pizza en porciones están hechos de manera que ninguno de ellos pasa por el centro, con lo que o vas a por unas tijeras a la cocina o no tienes forma de dividir la pizza en dos mitades perfectas... ¿o si?


Planteando el problema:

La pizza nos la han cortado de forma parecida a esto:


Figura 1 - El simpatico pizzero nos ha entregado unos cortes hechos con el...
¡ante estos casos no les deis ni un céntimo de propina!


Con lo que seguro que nuestro amigo (que mira la pizza con ojos golosos) va a echar mano de los trozos mas grandes, se cogerá la mitad derecha de la pizza y se llevará al buche mas de la mitad:

Figura 2 - Aquí el "amigo" ha echado mano de las porciones de la derecha y se ha zampado mas de lo que le correspodía.


Ante este problema en 1968 M. Goldberg publicó un artículo que resolvía el problema: Si la pizza la cortamos un número par de veces (siempre mayor que 2), que los cortes coinciden en un punto y que además ningún corte pasa por el centro, comeremos exactamente la mitad de la pizza si repartimos las porciones de forma alternada:

Figura 3 - La solución de Goldberg. Toma las porciones de manera alternada y come la mitad de la pizza.


Esto significa que si tomamos un numero par de porciones, por distintas que sean, si las podemos ordenar siempre podemos comer justo la mitad... ¿y si la cortamos un número impar de veces?


¿De verdad no estás satisfecho con comer media pizza, que quieres indagar mas en el asunto? ¿o es que con la barriga llena ya puedes perder el tiempo en estas chorradas?


No fué hasta 2009 en que los matemáticos R. Mabry y P. Deiermann publicaron un artículo (en American Mathematical Monthly, 116, p426-438) en el cual utilizando sus habilidades llegan a la conclusión de que:

• Realizando un número de cortes: 4n-1; (3,7,11,15,...) y repartimos los sectores de forma alternativa (como recomendaba Goldberg) el comensal que coja el trozo que contenga el centro comerá mas que el otro.
• Realizando un número de cortes: 4n+1; (5,9,13,17,...) y repartiendo los sectores como antes, el comensal que (¡ay avispado!) coja el sector que contenga el centro comerá menos que el otro.

Para mentes inquietas se puede visitar el artículo original de R.Mabry y P.Deiermann aquí: Of cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjeture and Other Tasty Results (American Mathematical Monthly vol 116 (5) pp.423-438. )

Basado en un artículo de Tito Eliatron Dixit, reescrito por el que suscribe estas líneas.